Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，是坐標原點，點分別在軸的正半軸和x軸的正半軸上，的面積為，過點作直線軸.

（1）求點的坐標；

（2）點是第一象限直線上一動點，連接.過點作，交軸于點D，設點的縱坐標為，點的橫坐標為，求與的關系式；

（3）在（2）的條件下，過點作直線，交軸于點，交直線于點，當時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為；（2）與的關系式：；（3）點的坐標為或.

【解析】

（1）由OA=OB，根據面積求出OA的長即可得A點坐標；（2）分0<d<6，d>6，d=6三種情況，當0<d<6時，過C作CH⊥x軸，根據銳角互余的關系可得∠CBH=∠BDO，利用AAS可證明△CBH≌△BDO，進而可得OD=BH，根據OH=AC=d，OH+HB=OB可得d-t=6，同理可得d>6，d=6時，d-t=6；（3）當0<d<6時，由OA=OB，∠AOB=90°，可得∠OAB=∠OBA=45°，在中，，可得AE=AD，根據OD=BH，AC=OH，CE=AE+AC可求出CE的長，進而可得OF的長，根據OF=OD可求出t的值，根據（2）所得關系式可求出AC的長進而可得AE的長，即可求出E點坐標，同理可求出d>6時E點坐標，當d=6時，E點不存在.

（1）如圖的面積為，

∴，

∵OA=OB，

∴OA2=36，

∴OA=6

∴點的坐標為

（2）①當0<d<6時，如圖1，此時t<0，

∴，

∴

在中，

∴∠CBH=∠BDO，

∵∠CHB=∠BOD=90°，

∴△CBH≌△BDO，

∴OD=BH，

∵OH=AC=d，OH+HB=OB，

∴d-t=6.

同理，當時，如圖2，可得CH=OD，

∴AC=AH+CH=6+OD，

∴，

當時，，

∴d-t=6，

當時，

∴與的關系式為d-t=6.

（3）當時，如圖

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∵DE//AB，

∴∠EDA=∠BOA=45°，

在中，，

∴AE=AD，

∴，

∴

∴，

∴t=-2，

∴d-(-2)=6，

∴d=4，即AC=4，

∴EA=CE-AC=12-4=8，

∴點的坐標為

同理，當時，如圖，可得CE=12.OD=OF==2，

∴t=2，

∴d-2=6，

∴d=8，即AC=8，

∴AE=12-8=4，

點的坐標為，

當時，點不存在，

綜上，點的坐標為或