Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB為直徑，過點B的切線與AC的延長線交于點D，E是BD中點，連接CE．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BD=，CE=．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由弦切角定理和切線的性質得出∠CBE=∠A，∠ABD=90°，由圓周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質得出CE=BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A，證出∠ACO=∠BCE，得出∠BCE+∠BCO=90°，得出CE⊥OC，即可得出結論；

（2）由勾股定理求出AB，再由三角函數得出tanA的值，求出BD的長，即可得出CE的長．

試題解析：（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵BD是⊙O的切線，∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，∵E是BD中點，∴CE=BD=BE，∴∠BCE=∠CBE=∠A，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠ACO=∠BCE，∴∠BCE+∠BCO=90°，即∠OCE=90°，CE⊥OC，∴CE是⊙O的切線；

（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===，∵tanA==，∴BD=AB=，∴CE=BD=．