Question

【題目】如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使，將一把直角三角尺的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方，其中.

（1）將圖1中的三角尺繞點順時針旋轉至圖2，使一邊在的內部，且恰好平分，求的度數;

（2）將圖1中三角尺繞點按每秒10的速度沿順時針方向旋轉一周，旋轉過程中，在第 秒時，邊恰好與射線平行;在第 秒時，直線恰好平分銳角.

（3）將圖1中的三角尺繞點順時針旋轉至圖3，使在的內部，請探究與之間的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 150°;(2) 9或27；6或24 ;(3)見解析.

【解析】

（1）根據角平分線的定義求出∠COM，然后根據∠CON=∠COM+90°解答；（2）分別分兩種情況根據平行線的性質和旋轉的性質求出旋轉角，然后除以旋轉速度即可得解；

（3）用∠BOM和∠NOC表示出∠BON，然后列出方程整理即可得解．

解：（1）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM= ∠AOC=60°，
∴∠CON=∠COM+90°=150°；

（2））∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=60°，
∵∠OMN=30°，

∴當ON在直線AB上時，MN∥OC，
旋轉角為90°或270°，
∵每秒順時針旋轉10°，
∴時間為9或27，
直線ON恰好平分銳角∠BOC時，
旋轉角為60°或 180°+60°=240°，
∵每秒順時針旋轉10°，
∴時間為6或24；
故答案為：9或27；6或24．

（3）∵∠MON=90°，∠BOC=60°，
∴∠BON=90°-∠BOM，
∠BON=60°-∠NOC，
∴90°-∠BOM=60°-∠NOC，
∴∠BOM-∠NOC=30°，
故∠BOM與∠NOC之間的數量關系為：∠BOM-∠NOC=30°．