Question

【題目】如圖，菱形對角線、的交點是四邊形對角線的中點，四個頂點、、、分別在四邊形的邊、、、上．

求證：四邊形是平行四邊形；

如圖若四邊形是矩形，當與重合時，已知，且菱形的面積是，求矩形的長與寬．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）長為，寬為4

【解析】

（1）根據菱形的性質可得出OA＝OC，OD＝OB，再由中點的性質可得出OF＝OH，結合對頂角相等即可利用全等三角形的判定定理（SAS）證出△AOF≌△COH，從而得出AF∥CH，同理可得出DH∥BF，依據平行四邊形的判定定理即可證出結論；

（2）設BD＝m（m＞0），則AC＝2m，結合菱形的面積為20即可求出m＝2，進而得出AC、BD的長度，再由勾股定理即可得出AB的長度，由四邊形EFGH為矩形即可得出△AOB∽△AGC，根據相似比即可得出＝，代入數據，此題得解.

∵點是菱形對角線、的交點，

∴，，

∵點是線段的中點，

∴．

在和中，有，

∴，

∴，

∴．

同理可得：．

∴四邊形是平行四邊形．

設BD＝m，則AC＝2m，

∴S菱形ABCD＝ACBD＝m2＝20，

∴m＝2，

即BD＝2，AC＝4．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴OB＝BD＝，OA＝AC＝2，

∴AB＝＝5．

∵四邊形EFGH為矩形，

∴∠G＝∠AOB＝90°，

∴△AOB∽△AGC，

∴＝，

∴CG＝4，AG＝8．

∴矩形EFGH的長為8，寬為4.