Question

你能化簡（）()嗎？我們不妨先從簡單情況入手，現規律，歸納結論.
（1）先填空：（）()=          ；()()=        ； ()()=          ；……
由此猜想（）()=          .
（2）利用這個結論，你能解決下面兩個問題嗎？  
①2¹⁹⁹＋2¹⁹⁸＋2¹⁹⁷＋……＋2²＋2＋1；
②若，則等于多少？

Answer 1

（1）a²-1；a³-1；a⁴-1；a¹⁰⁰-1；（2）①2²⁰⁰-1；②1.

試題分析：（1）利用多項式乘以多項式法則及平方差公式化簡即可得到結果.
（2）歸納總結得到一般性規律，即可求出所求式子的結果.
（3）①利用得出的結論計算即可得到結果；②利用得出的結論計算即可得到結果．
試題解析：（1）（a-1）（a+1）=a²-1；（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；…由此猜想（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）=a¹⁰⁰-1；
（2）①根據得出的結論得：2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1=（2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1）（2-1）=2²⁰⁰-1；
②根據題意得：（a-1）（a⁵+a⁴+a³+a²+a+1）=a⁶-1，
將a⁵+a⁴+a³+a²+a+1=0代入得：a⁶=1．