Question

所謂配方法其實就是逆用完全平方公式，即a²±2ab+b²=（a+b）²．該方法在數、式、方程等多方面應用非常廣泛，如
3+2

2

=1²+2

2

+（

2

）²=（1+

2

）²；x²+2x+5=x²+2x+1+4=（x+1）²+4等等．請你用配方法解決以下問題：
（1）解方程：x²=5+2

6

；（不能出現形如

5+2 6

的雙重二次根式）
（2）求證：不論m為何值，解關于x的一元二次方程x²+（m-1）x+m-3=0總有兩個不等實數根．
（3）若a²+4b²+c²-2a-8b+10c+30=0，解關于x的一元二次方程ax²-bx+c=0．

Answer 1

分析：（1）先求出x的值，再把所得的結果進行化簡即可；
（2）先求出△的值，再把所得的結果進行配方，證出△＞0即可；
（3）先通過配方求出a，b，c的值，然后代入方程，即可求出答案．

解答：解；（1）x²=5+2

6

，
x²=（

2

）²+2

6

+（

3

）²，
x²=（

2

+

3

）²，
x=±（

2

+

3

），
x₁=

2

+

3

或x₂=-

2

-

3

；

（2）∵△=（m-1）²-4（m-3）=m²-2m+1-4m+12=m²-6m+13=（m-3）²+4＞0，
∴不論m為何值，關于x的一元二次方程x²+（m-1）x+m-3=0總有兩個不等實數根；

（3）∵a²+4b²+c²-2a-8b+10c+30=0，
∴a²-2a+1+4b²-8b+4+c²+10c+25=0，
∴（a-1）²+（2b-2）²+（c+5）²=0，
∵（a-1）²≥0，（2b-2）²≥0，（c+5）²≥0，
∴（a-1）²=0，（2b-2）²=0，（c+5）²=0，
∴a=1，b=1，c=-5，
把a=1，b=1，c=-5代入ax²-bx+c=0得：
x²-x-5=0，
解得：x=

1± 21

2

，
x₁=

1+ 21

2

，x₂=

1- 21

2

．

點評：此題考查了配方法的應用，用到的知識點是配方法解一元二次方程、根的判別式，關鍵是對要求的式子進行配方．