Question

（2013•廈門）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是

36

5

，面積是54．求證：AC⊥BD．

Answer 1

分析：由AD∥BC，可證明△EAD∽△ECB，利用相似三角形的性質即可求出BE的長，過D作DF∥AC交BC延長線于F，則四邊形ACFD是平行四邊形，所以CF=AD，再根據勾股定理的逆定理證明BD⊥DF即可證明AC⊥BD．

解答：證明：∵AD∥BC，
∴△EAD∽△ECB，
∴AE：CE=DE：BE，
∵AE=4，CE=8，DE=3，
∴BE=6，
S_梯形=

1

2

（AD+BC）×

36

5

=54，
∴AD+BC=15，
過D作DF∥AC交BC延長線于F，
則四邊形ACFD是平行四邊形，
∴CF=AD，
∴BF=AD+BC=15，
在△BDF中，BD²+DF²=9²+12²=225，BF²=225，
∴BD²+DF²=BF²，
∴BD⊥DF，
∵AC∥DF，
∴AC⊥BD．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、梯形的面積公式以及勾股定理的逆定理的運用，題目的綜合性很強，難度中等．