Question

【題目】拋物線的頂點為（1，﹣4），與x軸交于A、B兩點，與y軸負半軸交于C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為對稱軸右側拋物線上一點，以BP為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點M落在對稱軸上，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點P的坐標為（2，﹣3）或（4，5）．

【解析】

（1）由拋物線的頂點坐標可設拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4，代入點C的坐標可求出a值，進而可得出拋物線的解析式；
（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B的坐標，設拋物線對稱軸與x軸交于點E，過點P作PF∥x軸，交拋物線對稱軸于點F，易證△MBE≌△PMF，根據全等三角形的性質可得出ME=PF=x-1，MF=BE=2，進而可得出EF=x+1，結合EF為點P縱坐標的絕對值，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，取其大于1的值代入點P的坐標中即可得出結論．

解：（1）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，

將C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，

解得：a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．

（2）當y＝0時，有x2﹣2x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0）．

設拋物線對稱軸與x軸交于點E，過點P作PF∥x軸，交拋物線對稱軸于點F，如圖所示．

設點P的坐標為（x，x2﹣2x﹣3）（x＞1），則PF＝x﹣1，BE＝3﹣1＝2．

∵∠BME+∠PMF＝90°，∠BME+∠MBE＝90°，

∴∠MBE＝∠PMF．

在△MBE和△PMF中， ，

∴△MBE≌△PMF（AAS），

∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2，

∴EF＝ME+MF＝x+1．

∵EF＝|x2﹣2x﹣3|，

∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0，

解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4，

∴點P的坐標為（2，﹣3）或（4，5）．