Question

【題目】如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點E、F，∠1與∠2互補．

（1）試判斷直線AB與直線CD的位置關系，并說明理由；

（2）如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，EP與CD交于點G，點H是MN上一點，且GH⊥EG，求證：PF∥GH；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度數．

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD，理由見解析；（2）證明見解析；（3）45°．

【解析】

（1）利用對頂角相等、等量代換可以推知同旁內角∠AEF、∠CFE互補，所以易證AB∥CD；

（2）利用（1）中平行線的性質推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根據角平分線的性質、三角形內角和定理證得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故結合已知條件GH⊥EG，易證PF∥GH；

（3）利用三角形外角定理、三角形內角和定理求得；然后由鄰補角的定義、角平分線的定義推知；最后根據圖形中的角與角間的和差關系求得∠HPQ=45°．

（1）AB∥CD，

理由如下：

∵∠1與∠2互補，

∴∠1+∠2=180°，

又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，

∴∠AEF+∠CFE=180°，

∴AB∥CD；

（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．

又∵∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，

∴

∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．

∵GH⊥EG，

∴PF∥GH；

（3）∵∠PHK=∠HPK，

∴∠PKG=2∠HPK．

又∵GH⊥EG，

∴∠KPG=90°﹣∠PKG=90°﹣2∠HPK，

∴∠EPK=180°﹣∠KPG=90°+2∠HPK．

∵PQ平分∠EPK，

∴，

∴∠HPQ=∠QPK﹣∠HPK=45°．

答：∠HPQ的度數為45°．