Question

【題目】已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直線為坐標軸，建立如圖1的平面直角坐標系．將矩形OABC繞點O順時針方向旋轉，得到矩形ODEF，當點B在直線DE上時，設直線DE和x軸交于點P，與y軸交于點Q．

（1）求證：△BCQ≌△ODQ；
（2）求點P的坐標；
（3）若將矩形OABC向右平移（圖2），得到矩形ABCG，設矩形ABCG與矩形ODEF重疊部分的面積為S，OG=x，請直接寫出x≤3時，S與x之間的函數關系式，并且寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形OABC和四邊形ODEF是矩形，

∴∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，

∵在△BCQ和△ODQ中

∴△BCQ≌△ODQ；

（2）

解：∵△BCQ≌△ODQ，

∴CQ=DQ，

在Rt△ODQ中，∠ODQ=90°，OD=3，由勾股定理得：OQ2=OD2+DQ2，

則OQ2=（6﹣OQ）2+32，

解得：OQ= ，DQ= ，

即Q的坐標是（0， ），

∵矩形ABCO的邊AB=6，OA=3，

∴B的坐標是（﹣3，6），

設直線BD的解析式是y=kx+ ，

把B的坐標代入得：k=﹣ ，

即直線BD的解析式是y=﹣ x+ ，

把y=0代入得：﹣ x+ =0，

解得：x=5，

即P的坐標是（5，0）；

（3）

解：

過D作DM⊥OP于M，如圖1，

∵∠DMO=∠ODQ=90°，OQ∥DM，

∴∠QOD=∠MDO，

∴△QDO∽△OMD，

∴ = = ，

∴ = = ，

即得：OM= ，DM= ，

OG=x，x≤3，

分為兩種情況：①如圖2，當0≤x≤ 時，

∵DM= ，OM= ，OG=x，CG∥DM，

∴△ONG∽△ODM，

∴ = ，

NG= x，

∴S= ×OG×GN= x x，

S= x2；

②如圖3，當 ＜x≤3時，

在Rt△ODP中，由勾股定理得：PD= =4，

∵DM= ，OM= ，

∴PM=5﹣ = ，

∵OG=x，CG∥DM，

∴△PGN∽△PMD，

∴ = ，

∴NG= （5﹣x），

∴S=S△ADP﹣S△PGN= ×3×4﹣ （5﹣x） （5﹣x），

S=﹣ x2+ x﹣ ，

即S和x的函數關系式是S= x2（0≤x≤ ）和S=﹣ x2+ x﹣ （ ＜x≤3）．

【解析】（1）根據正方形性質得出∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，根據全等三角形的判定推出即可；（2）根據全等得出CQ=DQ，在Rt△ODQ中由勾股定理得出OQ2=（6﹣OQ）2+32 ， 求出OQ= ，DQ= ，得出Q的坐標是（0， ），求出直線BD的解析式，即可得出答案；（3）過D作DM⊥OP于M，求出OM、DM，分為兩種情況：畫出圖形，求出GN，根據三角形的面積公式求出即可．
【考點精析】關于本題考查的平行四邊形的性質和平行四邊形的判定，需要了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形才能得出正確答案．