Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．點P從點A出發，以每秒個單位長度的速度向終點C運動，點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向終點A運動，連接PQ，將線段PQ繞點Q順時針旋轉90°得到線段QE，以PQ、QE為邊作正方形PQEF．設點P運動的時間為t秒（t＞0）

（1）點P到邊AB的距離為______（用含t的代數式表示）

（2）當PQ∥BC時，求t的值

（3）連接BE，設△BEQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式

（4）當E、F兩點中只有一個點在△ABC的內部時，直接寫出t的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）t；（2）t=1；（3）S=；（4）詳見解析.

【解析】

（1）作PH⊥AB交AB于點H，根據相似三角形，求出PH即可；

（2）根據平行線成比例性質，當PQ∥BC時，，即可求出t；

（3）分為0＜t＜1和1≤t≤2兩種情況，進行討論；

（4）根據題目，當F點在AB上時，此時t=1，當0＜t≤1．時，當E、F至少有一個點在△ABC的內部，當1＜t≤2時，沒有點在內部．

解：（1）如圖1，作PH⊥AB交AB于點H，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，AC=．

根據題意，AP=t，

∵∠A=∠A，∠B=∠AHP，

∴△AHP～△ABC，

∴，即，解得PH=t，

即點P到邊AB的距離為t．

故答案為t

（2）根據題意，AP=，BQ=2t，AQ=4-2t，

當PQ∥BC時，，即，解得t=1

（3）由（1）可知，E，F運動過程可分為兩個階段

當0＜t＜1，如圖2，連接BE，作PH⊥AB交AB于點H，作GE⊥AB交AB于點G，

∵∠HPG+∠PQH=∠HQP+∠GQE=90°，

∵，

∴△PHQ≌△QGE（AAS），

∴AH=BQ=2t，HQ=GE=4-4t，

S=，

當1≤t≤2，

連接BE，作PH⊥AB交AB于點H，作GE⊥AB交AB于點G，

同理可證∴△PHQ≌△QGE（AAS），

∴AH=BQ=2t，HQ=GE=4t-4，

S=，

∵S＞0，∴t≠0，

∴S=；

（4）由（1）知，當F點在AB上時，此時t=1，

當0＜t≤1．時，當E、F至少有一個點在△ABC的內部；當1＜t≤2時，沒有點在內部．