Question

【題目】在△ABC中，AD是它的角平分線．

（1）如圖1，求證：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD；

（2）如圖2，E是AB上的點，連接ED，若BD＝3，BE＝CD＝2，AE＝2CD，求證：△BED是等腰三角形；

（3）在圖1中，若3∠BAC＝2∠C，∠ADB＞∠B＞∠BAD，直接寫出∠BAC的取值范圍　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）40°＜∠BAC＜60°．

【解析】

（1）作輔助線，構建三角形的性質得：DE＝DF，利用三角形面積的不同計算方法可得結論；

（2）證明△AED≌△ACD，可得DE＝CD＝BE，可得結論；

（3）設∠BAD＝x，根據∠ADB＞∠B＞∠BAD，列不等式可解答．

證明：（1）如圖1，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵AD平分∠BAC，

∴DE＝DF，

∴＝＝＝＝；

S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD；

（2）如圖2，由（1）知：AB：AC＝BD：CD；

∵BE＝CD＝2，AE＝2CD＝4，

∴，AC＝4＝AE，

在△AED和△ACD中

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴ED＝CD＝2，

∵BE＝2，∴BE＝DE＝2，

∴△BED是等腰三角形；

（3）設∠BAD＝x，則∠BAC＝2x，

∵3∠BAC＝2∠C，

∴∠C＝3x，

∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝4x，

∵∠ADB＞∠B＞∠BAD，

∴4x＞1805x＞x，

解得：20°＜x＜30°，

∴40°＜∠BAC＜60°．

故答案為：40°＜∠BAC＜60°．