Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2﹣x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣1），直線AD交拋物線于另一點(diǎn)E，點(diǎn)P是第二象限拋物線上的一點(diǎn)，作PQ∥y軸交直線AE于Q，作PG⊥AD于G，交x軸于點(diǎn)H

（1）求線段DE的長；

（2）設(shè)d=PQ﹣PH，當(dāng)d的值最大時(shí)，在直線AD上找一點(diǎn)K，使PK+EK的值最小，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)和PK+EK的最小值；

（3）如圖2，當(dāng)d的值最大時(shí)，在x軸上取一點(diǎn)N，連接PN，QN，將△PNQ沿著PN翻折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使△AQQ′是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)8．(2)K（﹣2，﹣3），最小值為8．(3)滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（6﹣5，0）或（，0）或（﹣3，0）或（﹣6﹣5，0）．

【解析】

試題分析：（1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，求出直線AD的解析式，利用方程組求出點(diǎn)E坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式即可解決問題．

（2）構(gòu)建二次函數(shù)，求出d最大時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)，作EM⊥PQ交PQ的延長線于M，作KN⊥EM于N．只要證明PM就是PK+EK的最小值即可解決問題．

（3）分四種情形①如圖2中，當(dāng)Q′Q=AQ′時(shí)，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，連接PA，在PF上取一點(diǎn)E，使得PE=EN．設(shè)FN=x，則PE=EN=2x，EF=x，列出方程求解即可．②如圖3中，當(dāng)N與A重合時(shí)△AQQ′是等腰三角形．此時(shí)N（，0）．③如圖4中，當(dāng)N與B重合時(shí)，△AQQ′是等腰三角形，此時(shí)N（﹣3，0）．④如圖5中，當(dāng)Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一點(diǎn)E，使得PE=BE．在Rt△PEF中解直角三角形即可解決問題．

試題解析：（1）對(duì)于拋物線y=﹣x2﹣x+3，

令y=0，得﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或，∴A（，0），B（﹣3，0），

∵D（0，﹣1），

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，則有解得，

∴直線AD的解析式為y=x﹣1．

由解得或，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（﹣4，﹣5），

∴DE==8．

（2）如圖1中，設(shè)P（m，﹣ m2﹣x+3）則Q（m， m﹣1）．

∵tan∠OAD==，∴∠OAD=30°，∵PG⊥AE，∴∠AGH=90°，∴∠AHG=∠PHF=60°，

∴PH=，

∴d=PQ﹣PH=﹣m2﹣m+3﹣×（﹣m2﹣m+3）=﹣（m+2）2+，

∵﹣＜0，

∴m=﹣2時(shí)，d的值最大，P（﹣2，3），

作EM⊥PQ交PQ的延長線于M，作KN⊥EM于N．

∵∠AEM=∠OAD=30°，

∴KN=EK，QM=EQ，

∴PK+EK=PK+KN≤PM，

∴當(dāng)K與Q重合時(shí)，PK+EK的值最小，

此時(shí)K（﹣2，﹣3），最小值為8．

（3）①如圖2中，連接PA，在PF上取一點(diǎn)E，使得PE=EN．

∵PF=3，AF=3，∴tan∠AFP=，∴∠PAF=30°，∠PAQ=60°，∵PF=FQ，AF⊥PQ，

∴AP=AQ，∴△PAQ是等邊三角形，當(dāng)Q′Q=AQ′時(shí)，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，

∴∠NEF=30°，設(shè)FN=x，則PE=EN=2x，EF=x，∵PF=3，∴2x+x=3，∴x=6﹣3，

∴OF=2﹣6+3=5﹣6，∴N（6﹣5，0）．

②如圖3中，當(dāng)N與A重合時(shí)△AQQ′是等腰三角形．此時(shí)N（，0）．

③如圖4中，當(dāng)N與B重合時(shí)，△AQQ′是等腰三角形，此時(shí)N（﹣3，0）．

④如圖5中，當(dāng)Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一點(diǎn)E，使得PE=BE．

在Rt△PEF中，∵PF=3，∠PEF=30°，∴PE=NE=2PF=6，EF=PF=3，

∴ON=6+5，∴N（﹣6﹣5，0）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（6﹣5，0）或（，0）或（﹣3，0）或（﹣6﹣5，0）．