Question

【題目】如圖，△AOB中，A（－8，0），B（0， ），AC平分∠OAB，交y軸于點C，點P是x軸上一點，⊙P經過點A、C，與x軸于點D，過點C作CE⊥AB，垂足為E，EC的延長線交x軸于點F，

（1）求⊙P的半徑；
（2）求證：EF為⊙P的切線；
（3）若點H是 上一動點，連接OH、FH，當點P在 上運動時，試探究 是否為定值？若為定值，求其值；若不是定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：依據題意有OA=8，OB= ，則tan∠BAO= ÷8= .

AC是∠BAO的角平分線，則 tan∠BAO= ，得tan∠CAO= 或-2（舍）.

已知AO=8，則tan∠CAO= = ，OC=4。

顯然AD是圓P的直徑，CO⊥AD，則易知 AOC∽ COD，

tan∠DCO=∠CAO= = ，OD=2.

所以AD=AO+DO=8+2=10.

圓P的半徑 10÷2=5

故答案為5.

（2）

證明：連接CP，

∵AP=CP

∴∠PAC=∠PCA

∵AC平分∠OAB

∴∠PAC=∠EAC

∴∠PCA=∠EAC

∴PC//AE

∵CE⊥AB

∴CP⊥EF即EF是⊙P的切線

（3）

是定值， 連接PH

由（1）得AP=PC=PH=5，

∵A(-8,0)

∴OA=8

∴OP=OA-AP=3

在Rt△POC中，

由射影定理可得 ,

∴OF=

∴PF=PO+OF=

∵

∴

又∵∠HPO=∠FPH

∴△POH∽△PHF

∴

當H與D重合時，

【解析】（1）根據A、B兩點的坐標表示出tan∠BAO的值，根據AC是∠BAO的角平分線，進而表示出tan∠CAO的值，已知AO的長度，表示出OC和OD的值，從而求出圓P的半徑。（2）連接PC，已知CE⊥AB，證明PC//AB，則必然有PC⊥CE，從而證明EF是圓P的切線。（3）證明△POH∽△PHF，通過相似性，當H與D重合時， 。