Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c的開口向下，與x軸和y軸分別交于點A（﹣4，0）和點B（0，2），過點B作BC⊥AB交拋物線于點C，連接AC，且∠BAC=∠BAO．
（1）求BC的長；
（2）求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△AOB中，由勾股定理，得

AB= =2 ．

∵BC⊥AB，

∴∠ABC=∠AOB=90°，

∵∠CAB=∠BAO，

∴△CAB∽△BAO，

= ，即 = ，

BC=

（2）解：設C點坐標為（m，n），由勾股定理，

AC= =5．

AC2=25，BC2=5，

即 ，

解得m=﹣1，m=1（舍），n=4，

即C點坐標（﹣1，4）．

將A，B，C點坐標代入函數解析式，得

，

解得 ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+2

【解析】（1）根據勾股定理，可得AB的長，根據相似三角形的判定與性質，可得答案；（2）根據兩點間的距離，可得兩個方程，根據解方程，可得C點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用拋物線與坐標軸的交點和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．