Question

【題目】如圖，已知直線l及其兩側兩點A、B．

（1）在直線l上求一點O，使到A、B兩點距離之和最短；
（2）在直線l上求一點P，使PA=PB；
（3）在直線l上求一點Q，使l平分∠AQB．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AB，線段AB交直線l于點O，

∵點A、O、B在一條直線上，
∴O點即為所求點；
（2）解：連接AB，分別以A、B兩點為圓心，以任意長為半徑作圓，兩圓相交于C、D兩點，連接CD與直線l相交于P點，連接BD、AD、BP、AP、BC、AC，

∵BD=AD=BC=AC，
∴△BCD≌△ACD，
∴∠BED=∠AED=90°，
∴CD是線段AB的垂直平分線，
∵P是CD上的點，
∴PA=PB；
（3）解：作B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l與點Q，連接BQ，

∵B與B′兩點關于直線l對稱，
∴BD=B′D，DQ=DQ，∠BDQ=∠B′DQ，
∴△BDQ≌△B′DQ，
∴∠BQD=∠B′QD，即直線l平分∠AQB．
【解析】此題主要考查了基本作圖中線段垂直平分線的作法、兩點之間線段最短等知識，利用線段垂直平分線的性質得出P點位置是解題關鍵．
【考點精析】通過靈活運用線段垂直平分線的判定，掌握和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上即可以解答此題．