Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，點E，F分別是線段BC，AC的中點，連接EF．

（1）說明線段BE與AF的位置關系和數量關系；
（2）如圖②，當△CEF繞點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°）時，連接AF，BE，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；
（3）如圖③，當△CEF繞點C順時針旋轉α（0°＜α＜180°）時，延長FC交AB于點D，如果AD=6﹣2 ，求旋轉角α的度數．

Answer 1

【答案】
（1）

解：BE⊥AF，AF= BE；理由如下：

∵在△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，∠A=30°，

∴AC= BC=2 ，

∵點E，F分別是線段BC，AC的中點，

∴BE⊥AF，BE=CE，AF=CF，

∴ = ，

∴AF= BE

（2）

解：（1）中的結論仍然成立，理由如下：

∵點E，F分別是線段BC，AC的中點，

∴EC= BC，FC= AC，

∴ = ，

∵∠BCE=∠ACF=α，

∴△BEC∽△AFC，

∴ = ，∠CBE=∠CAF，

延長BE交AC于點O，交AF于點M，如圖2所示：

∵∠BOC=∠AOM，∠CBE=∠CAF，

∴∠BCO=∠AMO=90°，

∴BE⊥AF

（3）

解：∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，

∴AB=2BC=4，∠B=60°，

∴DB=AB﹣AD=4﹣（6﹣2 ）=2 ﹣2，

過點D作DH⊥BC于點H，如圖3所示：

∴BH= DB= ﹣1，DH= DB=3﹣ ，

又∵CH=BC﹣BH=2﹣（ ﹣1）=3﹣ ，

∴CH=DH，

∴∠HCD=45°，

∴∠DCA=45°，

∴α=180°﹣45°=135°．

【解析】（1）由含30°角的直角三角形的性質得出AC= BC=2 ，由已知得出BE⊥AF，BE=CE，AF=CF，得出 = ，即可得出結論；（2）由中點的定義得出EC= BC，FC= AC，得出 = ，再由∠BCE=∠ACF=α，證出△BEC∽△AFC，得出 = ，∠CBE=∠CAF，延長BE交AC于點O，交AF于點M，如圖2所示：由三角形內角和定理證出∠BCO=∠AMO=90°，得出BE⊥AF；（3）由直角三角形的性質得出AB=2BC=4，∠B=60°，得出DB=AB﹣AD=2 ﹣2，過點D作DH⊥BC于點H，由直角三角形的性質得出BH= DB= ﹣1，DH= DB=3﹣ ，求出CH=3﹣ ，得出CH=DH，由等腰直角三角形的性質得出∠HCD=45°，得出∠DCA=45°，求出α=135°即可．
【考點精析】通過靈活運用旋轉的性質，掌握①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．