Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B兩點(diǎn)間的距離為：AB=我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點(diǎn)的集合，如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，則A到原點(diǎn)的距離的平方為OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，當(dāng)⊙O的半徑為r時(shí)，⊙O的方程可寫(xiě)為：x2+y2=r2．

問(wèn)題拓展：如果圓心坐標(biāo)為P（a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫(xiě)為　 　．

綜合應(yīng)用：

如圖3，⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），A是⊙P上一點(diǎn)，連接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足為D，延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)B，連接AB．

①證明：AB是⊙P的切線；

②是否存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q？若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫(xiě)出以Q為圓心，以OQ為半徑的⊙Q的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2；①證明見(jiàn)解析；②存在，Q（3，3），（x﹣3）2+（y﹣3）2=36．

【解析】試題分析：?jiǎn)栴}拓展：直接根據(jù)圓的定義即可得出結(jié)論；

綜合應(yīng)用：①先判斷出△POB≌△PAB，即可得出結(jié)論；

②先得出點(diǎn)Q是BP中點(diǎn)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，

解：?jiǎn)栴}拓展：根據(jù)圓的定義得，（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，

故答案為：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，

綜合應(yīng)用：①∵PO=PA PD⊥OA，

∴∠OPD=∠APD，

在△POB和△PAB中，

∴△POB≌△PAB，

∴∠PAB=∠POB=90°，

∴PA⊥AB

∴AB是⊙P的切線，

②存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q，

當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP中點(diǎn)時(shí)

∵∠POB=∠PAB=90°，

∴QO=QP=QA=QB

∴此時(shí)點(diǎn)Q到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等

∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°

∴∠PBO=30°．

∴在Rt△POB中，OP=6，

∴OB=OP=6，PB=2PO=12

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），

∵Q是PB中點(diǎn)，P（0，6），B（6，0），

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）

∴OQ=PB=6

∴以Q為圓心，OQ為半徑的⊙Q的方程為（x﹣3）2+（y﹣3）2=36．