Question

【題目】感知：如圖①，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形ABCD內部的點F處，延長AF交CD于點G，連結FC，易證∠GCF=∠GFC．

探究：將圖①中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，如圖②，判斷∠GCF=∠GFC是否仍然相等，并說明理由．

應用：如圖②，若AB=5，BC=6，則△ADG的周長為 ．

Answer 1

【答案】探究：∠GCF=∠GFC，理由見解析;應用:16.

【解析】

試題分析：探究：由ABCD及折疊可得∠B+∠ECG=∠AFE+∠ECG=∠AFE+∠EFG=180°，即∠ECG=∠EFG，再根據EB=EF=EC得∠EFC=ECF，從而可得∠GCF=∠GFC；

應用：由（1）中∠GCF=∠GFC得GF=GC，AF=AB，根據△ADG的周長AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD可得．

試題解析：探究：∠GCF=∠GFC，理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠B+∠ECG=180°，

又∵△AFE是由△ABE翻折得到，

∴∠AFE=∠B，EF=BE，

又∵∠AFE+∠EFG=180°，

∴∠ECG=∠EFG，

又∵點E是邊BC的中點，

∴EC=BE，

∵EF=BE，

∴EC=EF，

∴∠ECF=∠EFC，

∴∠ECG-∠ECF=∠EFG-∠EFC，

∴∠GCF=∠GFC；

應用：∵△AFE是由△ABE翻折得到，

∴AF=AB=5，

由（1）知∠GCF=∠GFC，

∴GF=GC，

∴△ADG的周長AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16