Question

如圖1所示，已知：在矩形ABCD中，AB=6，點P在AD邊上．
（1）如果∠BPC=90°，求證：△ABP∽△DPC；
（2）在問題（1）中，當AD=13時，求tan∠PBC；
（3）如圖2所示，原題目中的條件不變，且AP=3，DP=9，M是線段BP上一點，過點M作MN∥BC交PC于點N，分別過點M，N作ME⊥BC于點E，NF⊥BC于點F，并且矩形MEFN和矩形ABCD的長與寬之比相等，求MN．

Answer 1

（1）證明：∵∠BPC=90°，∠D=90°，
∴∠BPA+∠DPC=∠PCD+∠DPC=90°，
∴∠APB=∠PCD；
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABP∽△DPC．

（2）解：設AP=x，則PD=AD-AP=13-x；
由（1）知：△ABP∽△DPC，得：
，即，化簡得：
x²-13x+36=0，解得x=4，x=9；
在Rt△APB中，當AP=4時，tan∠APB==；
當AP=9時，tan∠APB===；
由于AD∥BC，則∠APB=∠PBC，
故∠PBC的正切值為或．

（3）解：過P作PH⊥BC于H，交MN于G，則PG⊥MN；
由題意知：AB=6，AD=AP+PD=12，即AD=2AB；
①當MN=2ME時，設ME=x，則MN=2x，PG=6-x；
由于MN∥BC，則△PMN∽△PBC，得：
，即；
解得：x=3，故MN=2x=6；
②當ME=2MN時，設MN=m，則ME=2m，PG=6-2m，同①可得：
，即；
解得：m=2.4，即MN=2.4；
綜上所述，MN的值為6或2.4．
分析：（1）若∠BPC=90°，則∠BPA和∠PCD同為∠DPC的余角，故∠BPA=∠PCD，而∠A、∠D都是直角，由此可證得：△ABP∽△DPC．
（2）由于AD∥BC，則∠PBC=∠APB，那么只需求出∠APB的正切值即可，關鍵是求AP的長；可設AP為x，用x可表示出DP的長，根據（1）所得相似三角形的比例線段，即可求得x即AP的值，進而可得到∠APB的正切值，由此得解．
（3）易得AB、AD的長，即可得到矩形的長和寬的比例關系，若設ME=x，則MN=2ME=2x，可過P作BC的垂線，設垂足為H，交MN于G；那么PG=6-x，易證得△PMN∽△PBC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得x的值，進而可求出MN的長．（當ME=2MN時，方法同上）．
點評：此題重點考查的是相似三角形的判定和性質，涉及到的知識點有：矩形的性質、銳角三角函數等知識；本題難度雖然不大，但關鍵在于（2）（3）題都要把各種情況考慮到，以免漏解．