Question

如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個三角形(如圖2所示)．將紙片△AC₁D₁沿直線D₂B(AB)方向平移(點A，D₁，D₂，B始終在同一直線上)，當點D₁與點B重合時，停止平移．在平移的過程中，C₁D₁與BC₂交于點E，AC₁與C₂D₂、BC₂分別交于點F、P．

1.當△AC₁D₁平移到如圖3所示位置時，猜想D₁E與D₂F的數量關系，并說明理由

2.設平移距離D₂D₁為x，△AC₁D₁和△BC₂D₂重復部分面積為y，請寫出y與x的函數關系式，以及自變量的取值范圍；

3.對于(2)中的結論是否存在這樣的x，使得重復部分面積等于原△ABC紙片面積的？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

 

圖1                  圖2                       圖3

 

Answer 1

 

1.．                              ……………………1分

∵，∴．∠C₂=∠BED₁

又∵∠ACB＝90°，CD是斜邊上的中線，

∴， DC＝DA＝DB，即

∴，∠C₂=∠B  ∴， ∠BED₁=∠B  ……………2分

∴，．．

又∵，∴．∴       ……………………3分

2.∵在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以由勾股定理，得AB＝10．

即

又∵，∴．∴

在中，到的距離就是△ABC的AB邊上的高，為．

設的邊上的高為h，由探究，得，∴．

∴．．……………………6分

又∵，∴．

又∵，．

∴，

而

∴．      ……………8分

3.存在．                          ………………9分

當時，即

整理，得．解得，．………………11分

即當或時，重疊部分的面積等于原△ABC面積的．……12分

解析:（1）根據題意，易得∠C₁=∠AFD₂；進而可得C₁D1=C₂D2=BD₂=AD₁，又因為AD₁=BD₂，可得答案；

（2）因為在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，所以由勾股定理，得AB=10；又因為C₂D₁=x，所以D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，由圖形可得陰影部分面積的組成，分別用x表示出其面積可得答案．

(3)存在,解關于x的運用二次方程求得