Question

【題目】已知：△ABC是等邊三角形．

（1）如圖，點D在AB邊上，點E在AC邊上，BD＝CE，BE與CD交于點F． 試判斷BF與CF的數量關系，并加以證明；
（2）點D是AB邊上的一個動點，點E是AC邊上的一個動點，且BD＝CE，BE與CD交于點F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：BF=CF；理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
在△BCD和△CBE中， ，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴∠BCD=∠CBE，
∴BF=CF．
（2）解：由（1）得：∠BCD=∠CBE，∠ACB=60°，
設∠BCD=∠CBE=x，
∴∠DBF=60°﹣x，
若△BFD是等腰三角形，分三種情況：
①若FD=FB，則∠FBD=∠FDB＞∠A，
∴∠FBD=∠FDB＞60°，
但∠FBD＞∠ABC，
∴∠FBD＜60°，
∴FD=FB的情況不存在；
②若DB=DF，則∠FBD=∠BFD=2x，
∴60°﹣x=2x，
解得：x=20°，
∴∠FBD=40°；
③若BD=BF，如圖所示：

則∠BDF=∠BFD=2x，
在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°，
∴60°﹣x+2x+2x=180°，
解得：x=40°，
∴∠FBD=20°；
綜上所述：∠FBD的度數是40°或20°.
【解析】（1）根據題意再由SAS證明△BCD≌△CBE，再由全等三角形的性質可證得結論；
（2）△BFD是等腰三角形，分三種情況：①若FD=FB；②若DB=DF；③若BD=BF，根據三角形的內角和可求出答案.