Question

【題目】已知：Rt△ABC的直角頂點C，另一頂點A及斜邊AB的中點D都在⊙O上，BC交⊙O于E．

（1）如圖1，若AC=CE，求∠B的度數；

（2）如圖2，若AC=6，BC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）22.5°（2）

【解析】

試題分析：（1）作輔助線，根據等腰直角三角形的性質得：∠CEA=45°，利用同弧所對的圓周角相等得：∠ADC=45°，運用外角定理得出∠B的度數；

（2）作輔助線，構建相似三角形，證明△BDE∽△BCA，列比例式求出DE的長，最后利用勾股定理求直徑AE，則半徑為．

試題解析：（1）如圖1，連接AE、DC，

∵∠ECA=90°，且E、C、A三點都在⊙O上，

∴AE是⊙O的直徑，

∵EC=AC，

∴∠CEA=45°，

∵D是斜邊AB的中點，

∴BD=DC，

∴∠B=∠BCD，

∵∠ADC=∠AEC=∠B+∠BCD=45°，

∴∠B=45°÷2=22.5°；

（2）如圖2，連接DE、AE、CD，

由（1）得：AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∵∠EBD=∠ABC，∠BDE=∠BCA=90°，

∴△BDE∽△BCA，

∴，

∵D是斜邊AB的中點，

∴BD=AD，

由勾股定理得：AB==10，

∴BD=AD=AB=5，

∴，

∴DE=，

∴AE==，

∴OE=AE=，

則⊙O的半徑為．