Question

如圖，直線y=-

4

3

x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．有兩動點(diǎn)C、D同時從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)C以每秒

3

2

個單位長度的速度沿折線OAB按O→A→B的路線運(yùn)動，點(diǎn)D以每秒4個單位長度的速度沿折線OBA按O→B→A的路線運(yùn)動，當(dāng)C、D兩點(diǎn)相遇時，它們都停止運(yùn)動．設(shè)C、D同時從點(diǎn)O出發(fā)t秒時，△OCD的面積為S．
（1）請問C、D兩點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在CD∥OB？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
（2）請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）設(shè)S₀是（2）中函數(shù)S的最大值，那么S₀=

243

80

．

Answer 1

分析：（1）如果CD∥OB，此時點(diǎn)C，D應(yīng)分別在線段OA，AB上，先求出這個區(qū)間t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t；
（2）本題要分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)D在OD上，C在OA上，即當(dāng)0＜t≤1時，此時S=

1

2

OC•OD，由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)D在AB上，C在OA上，即當(dāng)1＜t≤2時，此時S=

1

2

OC×D點(diǎn)的縱坐標(biāo)．由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)C，D都在AB上時，即當(dāng)2＜t＜

24

11

相遇時用的時間，此時S=S_△AOD-S_△AOC，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式；綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內(nèi)，函數(shù)的不同表達(dá)式；
（3）根據(jù)（2）的函數(shù)即可得出S的最大值．

解答：解：（1）不存在CD∥OB，理由為：
若CD∥OB，則點(diǎn)C，D應(yīng)分別在線段OA，AB上，此時1＜t＜2，在Rt△AOB中，AB=5，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
∴

|x1|

3

=

4t-4

5

，
∴|x₁|=

3

5

（4t-4）=

12t-12

5

，
∵CD∥OB，
∴

12t-12

5

=

3

2

t，
∴t=

8

3

，
∵t=

8

3

＞2，不滿足1＜t＜2，
∴不存在CD∥OB；

（2）根據(jù)題意得D，C兩點(diǎn)相遇的時間為

3+4+5

3 2 +4

=

24

11

（秒），
現(xiàn)分情況討論如下：
（ⅰ）當(dāng)0＜t≤1時，S=

1

2

×

3

2

t•4t=3t²；
（ⅱ）當(dāng)1＜t≤2時，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x₂，y₂），
∴

|y2|

4

=

5-(4t-4)

5

，即|y₂|=

36t-16

5

，
∴S=

1

2

×

3

2

t×

36t-16

5

=-

12

5

t²+

27

5

t；
（ⅲ）當(dāng)2＜t＜

24

11

時，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x₃，y₃），類似（ⅱ）可得|y₃|=

36-16t

5

，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₄，y₄），∴

|y4|

4

=

3 2 t-3

5

，即|y₄|=

6t-12

5

，
∴S=S_△AOD-S_△AOC=

1

2

×3×

36-16t

5

-

1

2

×3×

6t-12

5

=-

33

5

t+

72

5

；

（3）當(dāng)0＜t≤1時，S=3t²，函數(shù)的最大值是3；
當(dāng)1＜t≤2時，S=-

12

5

t²+

27

5

t．函數(shù)的最大值是

243

80

，
當(dāng)2＜t＜

24

11

時，S=-

33

5

t+

72

5

，0＜S＜

6

5

，
∴S₀=

243

80

．
故答案為：（3）

243

80

點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，靈活運(yùn)用分類討論及數(shù)形結(jié)合思想是解本題的關(guān)鍵．