Question

【題目】對于平面內(nèi)的點(diǎn)和點(diǎn)，給出如下定義：點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)使得是以為頂角且小于90°的等腰三角形，則稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)．如圖，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)

(1)已知點(diǎn)，在點(diǎn)，， ，中，是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)的是 ；

(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍．

(3) 點(diǎn)是軸上的動點(diǎn)，，，點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上一動點(diǎn)．且滿足，若直線上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）直接根據(jù)銳角等腰點(diǎn)的概念和等腰三角形的性質(zhì)逐一判斷即可；

（2）先以為圓心，為半徑畫圓，然后根據(jù)數(shù)形結(jié)合，找到兩個臨界點(diǎn)，一個臨界點(diǎn)是直線剛好與圓相切時，另一個臨界點(diǎn)是直線剛好過點(diǎn)時，分別求出相應(yīng)的b的值，即可確定b的范圍；

（3）根據(jù)題意，找到兩個臨界點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E,F在直線左側(cè)時，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M， 過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，當(dāng)時，利用全等三角形的判定及性質(zhì)求解；當(dāng)點(diǎn)E,F在直線右側(cè)時，，且直線與圓相切時，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)K，過點(diǎn)K作于點(diǎn)M，利用三角函數(shù)和勾股定理求解．

（1） ，

∴ ，

∴等腰三角形的腰長為2．

∵，

，且是銳角，滿足條件，

∴是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)；

∵，

，但是直角，不滿足條件，

∴不是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)；

∵，

，不滿足條件，

∴不是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)；

∵，

，不滿足條件，

∴不是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)；

綜上所述，是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)的是；

(2) 以為圓心，為半徑畫圓，

當(dāng)直線與圓相切時，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，

令，則，令，則，解得 ，

∴，

．

，

，

．

，

，

．

設(shè)，

，

，

解得 ，

，

，

．

將點(diǎn)D代入中得，，

解得 ；

當(dāng)直線過G點(diǎn)時，此時 ，

將點(diǎn)G代入中得，，

解得 ，

∴實數(shù)的取值范圍為；

(3) 當(dāng)點(diǎn)E,F在直線左側(cè)時，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M， 過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，

當(dāng)時，

∵，

，

．

，

，

，

．

，

，

，

．

將點(diǎn)M代入中得，，

當(dāng)時，直線上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)，

，

；

當(dāng)點(diǎn)E,F在直線右側(cè)時，，且直線與圓相切時，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)K，過點(diǎn)K作于點(diǎn)M，

令，則，令，則，解得 ，

∴，

．

，

，

．

，

，

．

設(shè)，

，

，

解得 ，

，

，

．

將點(diǎn)M代入中得，，

解得 ；

綜上所述，直線上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的銳角等腰點(diǎn)，t的取值范圍為．