Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求證：直線CP是⊙O的切線．
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求點B到AC的距離．
（3）在第（2）的條件下，求△ACP的周長．

Answer 1

（1）證明見解析（2）4（3）20

解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴2∠BCP+2∠BCA=180°。
∴∠BCP+∠BCA=90°，即∠PCA=90°。
又∵AC是⊙O的直徑，∴直線CP是⊙O的切線。
（2）如圖，作BD⊥AC于點D，
∵PC⊥AC，∴BD∥PC�！唷螾CB=∠DBC。
∵C=2，sin∠BCP=
∴，解得：DC=2。
∴由勾股定理得：BD=4�！帱cB到AC的距離為4。
（3）如圖，連接AN，
在Rt△ACN中，，
又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3。
∵BD∥CP，∴△ABD∽△ACP。
∴，即�！�。
在Rt△ACP中，。
∴△ACP的周長為。
（1））根據∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，從而得到∠BCP+∠BCA=90°，證得直線CP是⊙O的切線。
（2）作BD⊥AC于點D，得到BD∥PC，從而利用求得DC=2，再根據勾股定理求得點B到AC的距離為4。
（3）先求出AC的長度，然后由BD∥PC求得△ABD∽△ACP，利用比例線段關系求得CP的長度，再由勾股定理求出AP的長度，從而求得△ACP的周長