Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動點E以每秒1個單位長度的速度從點A開始沿邊AB向點B運動，動點F以每秒2個單位長度的速度從點B開始沿折線BC﹣CD向點D運動，動點E比動點F先出發1秒，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設點F的運動時間為t秒．

（1）點F在邊BC上．
①如圖1，連接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；
②如圖2，連結EF，DF，當t為何值時，△EBF與△DCF相似？
（2）如圖3，若點G是邊AD的中點，BG，EF相交于點O，試探究：是否存在在某一時刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) ①t=1；②．（2），.

試題分析：（1）①利用正方形的性質及條件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式計算．
②利用△EBF∽△DCF，得出，列出方程求解．
（2）①0＜t≤2時如圖3，以點B為原點BC為x軸，BA為y軸建立坐標系，先求出EF所在的直線和BG所在的直線函數關系式是，再利用勾股定理求出BG，運用，求出點O的坐標把O的坐標代入EF所在的直線函數關系式求解．②當t＞2時如圖4，以點B為原點BC為x軸，BA為y軸建立坐標系，以點B為原點BC為x軸，BA為y軸建立坐標系，先求出EF所在的直線和BG所在的直線函數關系式是，再利用勾股定理求出BG，運用，求出點O的坐標把O的坐標代入EF所在的直線函數關系式求解．
試題解析：（1）①如圖1

∵DE⊥AF，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAF+∠AEO=90°，
∵∠ADE+∠AEO=90°，
∴∠BAE=∠ADE，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AE=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
在△ABF和△DAE中，

∴△ABF≌△DAE（ASA）
∴AE=BF，
∴1+t=2t，
解得t=1．
②如圖2

∵△EBF∽△DCF
∴，
∵BF=2t，AE=1+t，
∴FC=4﹣2t，BE=4﹣1﹣t=3﹣t，
∴，
解得：，（舍去），
故．
（2）①0＜t≤2時如圖3，以點B為原點BC為x軸，BA為y軸建立坐標系，

A的坐標（0，4），G的坐標（2，4），F點的坐標（2t，0），E的坐標（0，3﹣t）
EF所在的直線函數關系式是：y=x+3﹣t，
BG所在的直線函數關系式是：y=2x，
∵
∵，
∴BO=，OG=，
設O的坐標為（a，b），

解得
∴O的坐標為（，）
把O的坐標為（，）代入y=x+3﹣t，得
=×+3﹣t，
解得，t=（舍去），t=，
②當3≥t＞2時如圖4，以點B為原點BC為x軸，BA為y軸建立坐標系，

A的坐標（0，4），G的坐標（2，4），F點的坐標（4，2t﹣4），E的坐標（0，3﹣t）
EF所在的直線函數關系式是：y=x+3﹣t，
BG所在的直線函數關系式是：y=2x，
∵BG==2
∵，
∴BO=，OG=，
設O的坐標為（a，b），

解得
∴O的坐標為（，）
把O的坐標為（，）代入y=x+3﹣t，得
=×+3﹣t，
解得：t=．
綜上所述，存在t=或t=，使得．
【考點】四邊形綜合題．