Question

【題目】在平面直角坐標中，△ABC三個頂點坐標為A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．

（1）求△ABC內切圓⊙D的半徑．

（2）過點E（0，﹣1）的直線與⊙D相切于點F（點F在第一象限），求直線EF的解析式．

（3）以（2）為條件，P為直線EF上一點，以P為圓心，以2為半徑作⊙P．若⊙P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等，求此時圓心P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）y=x﹣1；（3）若⊙P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等，此時圓心P的坐標為（2，5）或（﹣，﹣4）．

【解析】

試題分析：（1）由A、B、C三點坐標可知∠CBO=60°，又因為點D是△ABC的內心，所以BD平分∠CBO，然后利用銳角三角函數即可求出OD的長度；

（2）根據題意可知，DF為半徑，且∠DFE=90°，過點F作FG⊥y軸于點G，求得FG和OG的長度，即可求出點F的坐標，然后將E和F的坐標代入一次函數解析式中，即可求出直線EF的解析式；（3）⊙P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等，該點是△ABC的外接圓圓心，即為點D，所以DP=2，又因為點P在直線EF上，所以這樣的點P共有2個，且由勾股定理可知PF=3．

試題解析：（1）連接BD，

∵B（，0），C（0，3），

∴OB=，OC=3，

∴tan∠CBO==，

∴∠CBO=60°

∵點D是△ABC的內心，

∴BD平分∠CBO，

∴∠DBO=30°，

∴tan∠DBO=，

∴OD=1，

∴△ABC內切圓⊙D的半徑為1；

（2）連接DF，

過點F作FG⊥y軸于點G，

∵E（0，﹣1）

∴OE=1，DE=2，

∵直線EF與⊙D相切，

∴∠DFE=90°，DF=1，

∴sin∠DEF=，

∴∠DEF=30°，

∴∠GDF=60°，

∴在Rt△DGF中，

∠DFG=30°，

∴DG=，

由勾股定理可求得：GF=，

∴F（，），

設直線EF的解析式為：y=kx+b，

∴，

∴直線EF的解析式為：y=x﹣1；

（3）∵⊙P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等，

∴該點必為△ABC外接圓的圓心，

由（1）可知：△ABC是等邊三角形，

∴△ABC外接圓的圓心為點D

∴DP=2，

設直線EF與x軸交于點H，

∴令y=0代入y=x﹣1，

∴x=，

∴H（，0），

∴FH=，

當P在x軸上方時，

過點P1作P1M⊥x軸于M，

由勾股定理可求得：P1F=3，

∴P1H=P1F+FH=，

∵∠DEF=∠HP1M=30°，

∴HM=P1H=，P1M=5，

∴OM=2，

∴P1（2，5），

當P在x軸下方時，

過點P2作P2N⊥x軸于點N，

由勾股定理可求得：P2F=3，

∴P2H=P2F﹣FH=，

∴∠DEF=30°

∴∠OHE=60°

∴sin∠OHE=，

∴P2N=4，

令y=﹣4代入y=x﹣1，

∴x=﹣，

∴P2（﹣，﹣4），

綜上所述，若⊙P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等，此時圓心P的坐標為（2，5）或（﹣，﹣4）．