Question

把下列各式分解因式：
（1）m（x-y）-n（y-x）；（2）2x⁴-32
（3）a³-a；（4）（x+y）²-2（x+y）+1
（5）先嘗試把下列代數式進行分解因式：
①1+x+x（1+x）=______；
②1+x+x（1+x）+x（1+x）²=______；
③1+x+x（1+x）+x（1+x）²+x（1+x）³=______；
…并根據你發現的規律，直接寫出下面這個多項式分解因式的結果．
④1+x+x（1+x）+x（1+x）²+…+x（1+x）²⁰⁰⁸=______．

Answer 1

解：（1）m（x-y）-n（y-x）=（m+n）（x-y）；

（2）2x⁴-32=2（x⁴-16）=2[（x²）²-4²]=2（x²+4）（x²-4）=2（x²+4）（x-2）（x+2）；

（3）a³-a=a（a²-1）=a（a+1）（a-1）；

（4）（x+y）²-2（x+y）+1=（x+y-1）²；

（5）①1+x+x（1+x）=（1+x）+x（1+x）=（1+x）^2_；
②1+x+x（1+x）+x（1+x）²=（1+x）+x（1+x）+x（1+x）²=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）^3_；
③1+x+x（1+x）+x（1+x）²+x（1+x）³=（1+x）⁴；
看等號左右的變化，即都是先提公因式，或再運用提公因式，或依次提公因式分解所得；等號右邊括號內的數據不變，2，3，4依次增大，故可推理出：
④1+x+x（1+x）+x（1+x）²+…+x（1+x）²⁰⁰⁸=（1+x）²⁰⁰⁹．
分析：（1）m（x-y）-n（y-x）=m（x-y）+n（x-y），再提公因式x-y；
（2）提公因式2，再運用平方差公式分解徹底即可．2x⁴-32=2（x⁴-16）=2[（x²）²-4²]=2（x²+4）（x²-4）=2（x²+4）（x-2）（x+2）；
（3）a³-a=a（a²-1），再運用平方差公式分解；（4）（x+y）²-2（x+y）+1是將（x+y）看做一個整體，運用完全平方差公式分解的；（5）①1+x+x（1+x）=（1+x）^2_；
②1+x+x（1+x）+x（1+x）²=（1+x）³；
③1+x+x（1+x）+x（1+x）²+x（1+x）³=（1+x）⁴；
看等號左右的變化，即都是先提公因式，或再運用提公因式，或依次提公因式分解所得；等號右邊括號內的數據不變，2，3，4依次增大，故可推理出：
④1+x+x（1+x）+x（1+x）²+…+x（1+x）²⁰⁰⁸=（1+x）²⁰⁰⁹．
點評：本題考查對分解因式的掌握情況．