Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x軸上，點A在y軸的正半軸上，點A，D的坐標分別為A（0，2），D（2，2），AB=2，連接AC．

（1）求出直線AC的函數解析式；

（2）求過點A，C，D的拋物線的函數解析式；

（3）在拋物線上有一點P（m，n）（n＜0），過點P作PM垂直于x軸，垂足為M，連接PC，使以點C，P，M為頂點的三角形與Rt△AOC相似，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+2；（2）y=﹣x2+x+2；（3）點P的坐標為（﹣4，﹣4）或（﹣10，﹣28）或（6，﹣4）．

【解析】

試題分析：（1）先在Rt△ABO中，運用勾股定理求出OB===2，得出B（﹣2，0），再根據等腰梯形的對稱性可得C點坐標為（4，0），又A（0，2），利用待定系數法即可求出直線AC的函數解析式；

（2）設所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，將A，C，D三點的坐標代入，利用待定系數法即可求出拋物線的函數解析式；

（3）先由點P（m，n）（n＜0）在拋物線y=﹣x2+x+2上，得出m＜﹣2或m＞4，n=﹣m2+m+2＜0，于是PM=m2﹣m﹣2．由于∠PMC=∠AOC=90°，所以當Rt△PCM與Rt△AOC相似時，有==或==2．再分兩種情況進行討論：①若m＜﹣2，則MC=4﹣m．由==，列出方程=，解方程求出m的值，得到點P的坐標為（﹣4，﹣4）；由==2，列出方程=2，解方程求出m的值，得到點P的坐標為（﹣10，﹣28）；②若m＞4，則MC=m﹣4．由==時，列出方程=，解方程求出m的值均不合題意舍去；由==2，列出方程=2，解方程求出m的值，得到點P的坐標為（6，﹣4）．

解：（1）由A（0，2）知OA=2，

在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°，AB=2，

∴OB===2，

∴B（﹣2，0）．

根據等腰梯形的對稱性可得C點坐標為（4，0）．

設直線AC的函數解析式為y=kx+n，

則，解得，

∴直線AC的函數解析式為y=﹣x+2；

（2）設過點A，C，D的拋物線的函數解析式為y=ax2+bx+c，

則，解得，

∴y=﹣x2+x+2；

（3）∵點P（m，n）（n＜0）在拋物線y=﹣x2+x+2上，

∴m＜﹣2或m＞4，n=﹣m2+m+2＜0，

∴PM=m2﹣m﹣2．

∵Rt△PCM與Rt△AOC相似，

∴==或==2．

①若m＜﹣2，則MC=4﹣m．

當==時，=，

解得m1=﹣4，m2=4（不合題意舍去），

此時點P的坐標為（﹣4，﹣4）；

當==2時，=2，

解得m1=﹣10，m2=4（不合題意舍去），

此時點P的坐標為（﹣10，﹣28）；

②若m＞4，則MC=m﹣4．

當==時，=，

解得m1=4，m2=0，均不合題意舍去；

當==2時，=2，

解得m1=6，m2=4（不合題意舍去），

此時點P的坐標為（6，﹣4）；

綜上所述，所求點P的坐標為（﹣4，﹣4）或（﹣10，﹣28）或（6，﹣4）．