Question

【題目】如圖，點 P 是∠AOB 內部一定點

（1）若∠AOB＝50°，作點 P 關于 OA 的對稱點 P1，作點 P 關于 OB 的對稱點 P2，連 OP1、OP2，則∠P1OP2＝___.

（2）若∠AOB＝α，點 C、D 分別在射線 OA、OB 上移動，當△PCD 的周長最小時，則∠CPD＝___（用 α 的代數式表示）.

Answer 1

【答案】100° 180°-2α

【解析】

（1）根據對稱性證明∠P1OP2=2∠AOB，即可解決問題；
（2）如圖，作點P關于OA的對稱點P1，作點P關于OB的對稱點P2，連P1P2交OA于C，交OB于D，連接PC，PD，此時△PCD的周長最小．利用（1）中結論，根據對稱性以及三角形內角和定理即可解決問題；

（1）如圖，

由對稱性可知：∠AOP=∠AOP1，∠POB=∠BOP2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=100°，
故答案為100°．
（2）如圖，作點P關于OA的對稱點P1，作點P關于OB的對稱點P2，連P1P2交OA于C，交OB于D，連接PC，PD，此時△PCD的周長最小．

根據對稱性可知：∠OP1C=∠OPC，∠OP2D=∠OPD，∠P1OP2=2∠AOB=2α．
∴∠CPD=∠OP1C+∠OP2D=180°-2α．
故答案為180°-2α．