Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O為原點，AB=8，BC=10，E為AB上一點，把△CBE沿CE折疊，使點B恰好落在邊上的點D處，

（1）求AE的長；

（2）如圖2，將∠CDE繞著點D逆時針旋轉一定的角度，使角的一邊DE剛好經過點B，另一邊與y軸交于點F，求點F的坐標；

（3）在（2）的條件下，在平面內是否存在一點P，使以點C、D、F、P為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請通過計算說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）F(0，3)；（3）存在，，，

【解析】

（1）設AE=x，利用折疊的性質和矩形的性質，在△ADE中，利用勾股定理求解即可；

（2）根據題意證明△ODF∽△ABD，得到，從而求出OF即可得到結果；

（3）根據平行四邊形的性質分CF和DF為鄰邊時，DF和CP為對角線時，CF和DP為對角線時三種情況，分別求解即可.

解：（1）由折疊的性質可知CD=CB=10，

∵矩形OABC中，CO=AB=8 ∠AOC=90° ，AO=BC=10，

∴OD=6，

∴AD=10-6=4，

設AE=x，則DE=BE=8-x

∴

∴x=3

∴AE=3

（2）∵∠FDB=90°，

∴∠1+∠2=90°

∵∠OAB=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵∠FOD=∠DAB=90°

∵△ODF∽△ABD

∴

∴

∴OF=3

∴F（0，3）；

（3）由題意可得：F（0，3），D（6，0），C（0，8），

如圖3，若CF和DF為鄰邊時，

∵CF∥PD，CF=PD，

∴P（6，5）；

如圖4，若DF和CP為對角線，

則CF∥PD，CF=PD，

∴P（6，-5）；

如圖5，若CF和DP為對角線，

則DF∥CP，DF=CP，

∴P（-6，11）

綜上：點P的坐標為：，，.