Question

【題目】如圖，半圓O的直徑DE＝12 cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm.半圓O以2 cm/s的速度自左向右運動，在運動過程中，點D，E始終在直線BC上．設運動時間為t s，當t＝0時，半圓O在△ABC的左側，OC＝8 cm.

(1)當t＝________s時，半圓O與AC所在直線第一次相切；點C到直線AB的距離為________．

(2)當t為何值時，直線AB與半圓O所在的圓相切？

Answer 1

【答案】（1）1，6 cm；（2）當t為4或16時，直線AB與半圓O所在的圓相切．

【解析】

（1）求出路程EC的長，即可以求時間t=1，作C到AB的距離CF，利用直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半可以得：CF=6；
（2）根據C到AB的距離為6cm，圓的半徑為6cm，所以O與C重合，即當O點運動到C點時，半圓O與△ABC的邊AB相切，t=8÷2=4秒.

(1)∵DE＝12 cm，

∴OE＝OD＝6 cm.

∵OC＝8 cm，

∴EC＝8－6＝2(cm)，

∴t＝2÷2＝1(s)，

故當t＝1時，半圓O與AC所在直線第一次相切．

如圖①，過點C作CF⊥AB于點F.

在Rt△BCF中，∵∠ABC＝30°，BC＝12 cm，

∴CF＝BC＝6 cm.

故答案為1，6 cm.

(2)如圖②，當半圓O在直線AB的左側，與直線AB相切時，過點O作OM⊥AB于點M，則OM＝6 cm.

∵∠ABC＝30°，

∴OB＝2OM＝12 cm.

又∵BC＝12 cm，

∴當點O與點C重合，即當點O運動到點C時，半圓O與△ABC的邊AB相切，此時，點O運動了8 cm，運動時間t＝8÷2＝4.

如圖③，當半圓O所在的圓在直線AB的右側與直線AB相切時，設切點為Q，則OQ⊥AB，OQ＝6 cm.

在Rt△QOB中，∠OBQ＝∠ABC＝30°，則OB＝2OQ＝12 cm，此時點O運動了12＋12＋8＝32(cm)，運動時間t＝32÷2＝16.

綜上所述，當t為4或16時，直線AB與半圓O所在的圓相切．