Question

【題目】如圖，等腰直角中，，為的中點，，為上的一個動點，當點運動時，的最小值為____

Answer 1

【答案】4

【解析】

作點C關于AB的對稱點C′，連接DC′、BC′，連接DC′交AB于點P，由軸對稱的性質易得EC=EC′，則線段DC′的長度即為PC+PD的最小值， 由等腰直角三角形的性質易得∠CBC′=∠CBA+∠C′BA=90，在Rt△DBC′中，利用勾股定理即可求得線段DC′的長度，問題便可得以解決.

∵，為的中點，，

∴設CD=x，則AC=2x，

∴x2+(2x)2=42

解得x=,

∴BD=CD=,BC=AC=

如圖所示，作點C關于AB的對稱點C′，連接DC′、BC′，連接DC′交AB于點E.

∵點C和點C′關于AB對稱，

∴PC=PC′，∠CBA=∠C′BA，

∴PC+PD=PC′+PD=DC′，此時PC+PD的長最小.

∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，

∴∠CBC′=∠CBA+∠C′BA=45+45=90.

∴在Rt△DBC′中，由勾股定理得DC′= =，

∴PC+PD的最小值為4.

故答案為：4.