Question

【題目】設ω是一個平面圖形，如果用直尺和圓規經過有限步作圖（簡稱尺規作圖），畫出一個正方形與ω的面積相等（簡稱等積），那么這樣的等積轉化稱為ω的“化方”．

（1）閱讀填空

如圖①，已知矩形ABCD，延長AD到E，使DE=DC，以AE為直徑作半圓．延長CD交半圓于點H，以DH為邊作正方形DFGH，則正方形DFGH與矩形ABCD等積．

理由：連接AH，EH．

∵AE為直徑，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．

∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°

∴∠HAD+∠AHD=90°

∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ ．

∴，即DH2=AD×DE．

又∵DE=DC

∴DH2= ，即正方形DFGH與矩形ABCD等積．

（2）操作實踐

平行四邊形的“化方”思路是，先把平行四邊形轉化為等積的矩形，再把矩形轉化為等積的正方形．

如圖②，請用尺規作圖作出與ABCD等積的矩形（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡）．

（3）解決問題三角形的“化方”思路是：先把三角形轉化為等積的 （填寫圖形名稱），再轉化為等積的正方形．

如圖③，△ABC的頂點在正方形網格的格點上，請作出與△ABC等積的正方形的一條邊（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡，不通過計算△ABC面積作圖）．

（4）拓展探究

n邊形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n邊形轉化為等積的n﹣1邊形，…，直至轉化為等積的三角形，從而可以化方．

如圖④，四邊形ABCD的頂點在正方形網格的格點上，請作出與四邊形ABCD等積的三角形（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡，不通過計算四邊形ABCD面積作圖）．

Answer 1

【答案】（1）△HDE，AD×DC；（2）作圖見試題解析；（3）矩形，作圖見試題解析；（4）作圖見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）根據相似三角形的判定方法，得到△ADH∽△HDE；根據等量代換，可得DH2=AD×DC．

（2）先把平行四邊形ABCD轉化為等積的矩形ADMN，然后再作正方形DFGH與矩形ABMN等積，所以正方形DFGH與平行四邊形ABCD等積．

（3）先以三角形的底為矩形的長，以三角形的高的一半為矩形的寬，將△ABC轉化為等積的矩形MBCD；然后延長MD到E，使DE=DC，以ME為直徑作半圓．延長CD交半圓于點H，則DH即為與△ABC等積的正方形的一條邊．

（4）先根據由AG∥EH，得到AG=2EH，再由CF=2DF，得到CFEH=DFAG，由此得出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四邊形ABCD，即△BCE與四邊形ABCD等積．

試題解析：（1）如圖①，連接AH，EH，∵AE為直徑，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°，∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE，∴，即DH2=AD×DE，又∵DE=DC，∴DH2=AD×DC，即正方形DFGH與矩形ABCD等積，

故答案為：△HDE，AD×DC；

（2）如圖②，延長AD到E，使DE=DM，連接AH，EH，∵矩形ADMN的長和寬分別等于平行四邊形ABCD的底和高，∴矩形ADMN的面積等于平行四邊形ABCD的面積，∵AE為直徑，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°，∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE，∴，即DH2=AD×DE，又∵DE=DM，∴DH2=AD×DM，即正方形DFGH與矩形ABMN等積，∴正方形DFGH與平行四邊形ABCD等積；

（3）如圖③，延長MD到E，使DE=DC，連接MH，EH，∵矩形MDBC的長等于△ABC的底，矩形MDBC的寬等于△ABC的高的一半，∴矩形MDBC的面積等于△ABC的面積，∵ME為直徑，∴∠MHE=90°，∴∠HME+∠HEM=90°，∵DH⊥ME，∴∠MDH=∠EDH=90°，∴∠HMD+∠MHD=90°，∴∠MHD=∠HED，∴△MDH∽△HDE，∴，即DH2=MD×DE，又∵DE=DC，∴DH2=MD×DC，∴DH即為與△ABC等積的正方形的一條邊；

（4）如圖④，延長BA、CD交于點F，作AG⊥CF于點G，EH⊥CF于點H，△BCE與四邊形ABCD等積，理由如下：∵AG∥EH，∴，∴AG=2EH，又∵CF=2DF，∴CFEH=DFAG，∴S△CEF=S△ADF，∴S△CDI=S△AEI，∴S△BCE=S四邊形ABCD，即△BCE與四邊形ABCD等積．