Question

【題目】已知點O為直線AB上一點，將直角三角板MON的直角頂點放在點O處，并在∠MON內部作射線OC．

（1）如圖1，三角板的一邊ON與射線OB重合，且∠AOC＝150°．若以點O為觀察中心，射線OM表示正北方向，求射線OC表示的方向；

（2）如圖2，將三角板放置到如圖位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度數；

（3）若仍將三角板按照如圖2的方式放置，僅滿足OC平分∠MOB，試猜想∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）射線OC表示的方向為北偏東60°；（2）45°；（3）∠AOM＝2∠NOC.

【解析】

（1）根據∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM代入數據計算，即得出射線OC表示的方向；

（2）根據角的倍分關系以及角平分線的定義即可求解；

（3）令∠NOC為β，∠AOM為γ，∠MOC＝90°﹣β，根據∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°即可得到∠AOM與∠NOC滿足的數量關系．

（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，

∴射線OC表示的方向為北偏東60°；

（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，

∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，

∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，

∴3∠NOC+∠NOC＝90°，

∴4∠NOC＝90°，

∴∠BON＝2∠NOC＝45°，

∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°；

（3）∠AOM＝2∠NOC．

令∠NOC為β，∠AOM為γ，∠MOC＝90°﹣β，

∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，

∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，

∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，

∴∠AOM＝2∠NOC．