Question

【題目】如圖，在Rt△OAB中，∠A=90°，OA=4，AB=3，動點M從點A出發(fā)，動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動；同時點N從點O出發(fā)，以每秒個單位長度的速度，沿OB向終點B移動．設運動時間為t秒．

（1）用含t的代數(shù)式表示點N到OA的距離；

（2）設△OMN的面積是S，求S與t之間的函數(shù)表達式；當t為何值時，S有最大值？最大值是多少？

（3）在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1點N到OA的距離為；（2）S=-，當t=2時，S有最大值，最大值為S=．（3） t=2或t=時，△OMN是直角三角形

【解析】

試題分析：（1）由勾股定理計算出OB，再用三角函數(shù)即可；

（2）得到S與t的函數(shù)關系，從而確定出面積最大值；

（3）要使△OMN是直角三角形，一個直角三角形和它相似，即可；

試題解析：（1）在Rt△OAB中，OB==5，

∴點N到OA的距離為ON×sin∠O=；

（2）S=（4-t）× =-，

當t=-=2時，S有最大值，

最大值為S=-×22+×2=．

（3）∵△ABO為直角三角形，

∴以M、N、O為頂點的三角形和△ABO相似；

當△OMN∽△OAB時，

∴，

∴，

∴t=2，

當△OMN∽△OBA時，

∴，

∴，

∴t=，

∴t=2或t=時，△OMN是直角三角形