Question

（2010•集美區模擬）已知：拋物線y=x²+（m-1）x+m-2與x軸相交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，且x₁＜1＜x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）記拋物線與y軸的交點為C，P（x₃，m）是線段BC上的點，過點P的直線與拋物線交于點Q（x₄，y₄），若四邊形POCQ是平行四邊形，求拋物線所對應的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線開口向上，當x=1時，y＜0，進而求出m的取值范圍即可；也可利用求根公式以及根的判別式求出即可；
（2）首先求出直線BC的解析式，進而求出P，Q點橫坐標，再利用平行四邊形的性質求出CO=PQ，進而求出m的值，得出拋物線所對應的函數關系式即可．

解答：解：（1）解法一：∵拋物線開口向上，當x=1時，y＜0，
即：1+（m-1）+（m-2）＜0，
解得：m＜1，
則m的取值范圍是m＜1；
解法二：∵△=（m-1）²-4（m-2）=（m-3）²，
由求根公式可得：x₁=-1，x₂=2-m，
∵x₁＜1＜x₂，
∴2-m＞1，
解得：m＜1，
∴m的取值范圍是m＜1；

（2）解法一：由（1）可得B點坐標為：（2-m，0），C點坐標為：（0，m-2），
代入y=kx+b，得：

b=m-2 0=k(2-m)+m-2

，
解得：

k=1 b=m-2

，
故直線BC所對應的函數關系式為：y=x+m-2，
以P（x₃，m）代入求得：m=x₃+m-2，
解得：x₃=2，
∵四邊形POCQ是平行四邊形，∴PQ⊥x軸，
∴x₄=2，
y₄=4+2（m-1）+m-2=3m，
PQ=OC=m-y₄=m-3m=-2m=2-m，
解得：m=-2，
可得拋物線所對應的函數解析式為：y=x²-3x-4，
解法二：直線BC所對應的函數解析式為y=x+m-2，
以P（x₃，m）代入求得：x₃=2，
求出OP方程：y=

m

2

x，
∵CQ∥OP，可求出CQ方程：y=

m

2

x+m-2，

mx

2

+m-2=x²+（m-1）x+m-2，
解得：x₄=1-

m

2

，
由1-

m

2

=x₃=2，
解得：m=-2，
可得拋物線所對應的函數解析式為：y=x²-3x-4．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及平行四邊形的性質和待定系數法求一次函數解析式等知識，根據已知得出CO=PQ進而用m表示出兩線段長是解題關鍵．