Question

（創新學習）如圖，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉至△OA′B′，C點的坐標為（0，4）．
（1）求A′點的坐標；

 

（2）求過C，A′，A三點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；

 

（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，使以O，A，P為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先要過點A'作A'D垂直于x軸，垂足為D，然后在直角△A′OD中通過解直角三角形可求出點A′的坐標．
（2）已知了C，A'，A三點的坐標，可用待定系數法求出二次函數的解析式．
（3）由于等腰三角形的腰和底不確定，因此要分情況討論．

解答：解：（1）過點A'作A'D垂直于x軸，垂足為D，
則四邊形OB'A'D為矩形．
在△A'DO中，A'D=OA'•sin∠A′OD=4×sin60°=2

3

，OD=A'B'=AB=2，
∴點A'的坐標為（2，2

3

）．

（2）∵C（0，4）在拋物線上，∴c=4，
∴y=ax²+bx+4．
∵A（4，0），A′（2，2

3

）在拋物線y=ax²+bx+4上，
∴

16a+4b+4=0 4a+2b+4=2 3

解之得：

a= 1- 3 2 b=2 3 -3

．
∴所求解析式為y=

1- 3

2

x2+(2

3

-3)x+4．

（3）①若以點O為直角頂點，由于OC=OA=4，點C在拋物線上，則點C（0，4）為滿足條件的點．
②若以點A為直角頂點，則使△PAO為等腰直角三角形的點P的坐標應為（4，4）或（4，-4），經計算知；此兩點不在拋物線上．
③若以點P為直角頂點，則使△PAO為等腰直角三角形的點P的坐標應為（2，2）或（2，-2），經計算知；此兩點也不在拋物線上．
綜上述在拋物線上只有一點P（0，4）使△OAP為等腰直角三角形．

點評：本題綜合考查了函數的圖象在實際問題中的應用，較難，學生要根據題意仔細認真分析．