Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以點A為旋轉中心，逆時針旋轉矩形ABCD，旋轉角為α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，點B、點C、點D的對應點分別為點E、點F、點G．

（1）如圖①，當點E落在DC邊上時，直寫出線段EC的長度為　 　；

（2）如圖②，當點E落在線段CF上時，AE與DC相交于點H，連接AC，

①求證：△ACD≌△CAE；

②直接寫出線段DH的長度為　　 ．

（3）如圖③設點P為邊FG的中點，連接PB，PE，在矩形ABCD旋轉過程中，△BEP的面積是否存在最大值？若存在請直接寫出這個最大值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①證明見解析，②；（3）存在，.

【解析】

(1)根據勾股定理求出DE的長度，即可求解.

（2）①根據HL即可判定三角形全等.

②設 在Rt△ADH中根據勾股定理即可求解.

（3）如圖③中，連接PA，作BM⊥PE交PE的延長線于M．根據題意可得：PF＝PG=，

則PA＝PE＝，S△PBE＝PEBM＝BM，當BM的值最大時，△PBE的面積最大，求出BM的最大值即可.

(1)

故答案為：

(2) ①證明：如圖②中，

∵當點E落在線段CF上，

∴∠AEC＝∠ADC＝90°，

在Rt△ADC和Rt△AEC中，

∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL）；

②

（3）存在．

理由：如圖③中，連接PA，作BM⊥PE交PE的延長線于M．

由題意：PF＝PG=，

∵AG＝EF＝2，∠G＝∠F＝90°，∴PA＝PE＝，

∴S△PBE＝PEBM＝BM，

∴當BM的值最大時，△PBE的面積最大，

∵BM≤PB，PB≤AB+PA，

∴PB≤3+img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/06/09/06/2d6c918a/SYS202006090604111882361116_DA/SYS202006090604111882361116_DA.007.png" width="9" height="33" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />=，∴BM≤，∴BM的最大值為，此時點B、A、P三點共線，

∴△PBE的面積的最大值為．