Question

如圖，拋物線的對稱軸是直線x=2，頂點A的縱坐標為1，點B（4，0）在此拋物線上．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線對稱軸與x軸交點為C，點D（x，y）為拋物線上一動點，過點D作直線y=2的垂線，垂足為E．
①用含y的代數式表示CD²，并猜想CD²與DE²之間的數量關系，請給出證明；
②在此拋物線上是否存在點D，使∠EDC=120°？如果存在，請直接寫出D點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）依題意，設拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+1，代入B（4，0），得：
a（4-2）²+1=0，解得：a=-

1

4

∴拋物線的解析式：y=-

1

4

（x-2）²+1．

（2）①猜想：CD²=DE²；
證明：由D（x，y）、C（2，0）、E（x，2）知：
CD²=（x-2）²+y²，DE²=（y-2）²；
由（1）知：（x-2）²=-4（y-1）=-4y+4，代入CD²中，得：
CD²=y²-4y+4=（y-2）²=DE²．
②由于∠EDC=120°＞90°，所以點D必在x軸上方，且拋物線對稱軸左右兩側各有一個，以左側為例：
延長ED交x軸于F，則EF⊥x軸；
在Rt△CDF中，∠FDC=180°-120°=60°，∠DCF=30°，則：
CD=2DF、CF=

3

DF；
設DF=m，則：CF=

3

m、CD=DE=2m；
∵EF=ED+DF=2m+m=2，
∴m=

2

3

，DF=m=

2

3

，CF=

3

m=

2 3

3

，OF=OC-CF=2-

2 3

3

，
∴D（2-

2 3

3

，

2

3

）；
同理，拋物線對稱軸右側有：D（2+

2 3

3

，

2

3

）；
綜上，存在符合條件的D點，且坐標為（2-

2 3

3

，

2

3

）或（2+

2 3

3

，

2

3

）．