Question

【題目】如圖，在中，，以點為圓心，的長為半徑作，交于點，交的延長線于點．過點作，交于點，連接，，．

（1）求證：是的切線；

（2）填空：

①當四邊形是周長為20的菱形時， ；

②當 時，四邊形是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）①，②．

【解析】

（1）根據平行線的性質得∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，由于∠E=∠EFA，則∠FAB=∠CAB，可證明△ABC≌△ABF，從而得到∠AFB=90°，然后根據切線的判定方法可判斷BF是⊙A的切線；

（2）①通過菱形得到△ADF為等邊三角形，然后通過特殊角的三角函數值計算即可；②由正方形對角線和邊的倍數關系即可得到答案．

（1）證明：∵EF∥AB，
∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，
∵AE=AF，

∴∠E=∠EFA，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，
，
∴△ABC≌△ABF（SAS），
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AF，
∵AF是⊙A的半徑，
∴BF是⊙A的切線；

（2）①若四邊形是周長為20的菱形，

則AD=DF=5，

∵AD=AF

∴AD=AF=DF=5，即△ADF為等邊三角形，

∴∠DAF=60°，

∵∠AFB=90°，

∴，

∴；

②若四邊形是正方形，

則AB是正方形的對角線，

由于AE=AC=AF，

∴．