Question

（2013•營口）按如圖方式作正方形和等腰直角三角形．若第一個正方形的邊長AB=1，第一個正方形與第一個等腰直角三角形的面積和為S₁，第二個正方形與第二個等腰直角三角形的面積和為S₂，…，則第n個正方形與第n個等腰直角三角形的面積和S_n=

5

2n+1

．

Answer 1

分析：觀察圖形，根據正方形的四條邊相等和等腰直角三角形的腰長為斜邊長的

2

2

倍，分別求得每個正方形的邊長，從而發現規律，再根據規律解題即可．

解答：解：∵第一個正方形的邊長為1，
第2個正方形的邊長為（

2

2

）¹=

2

2

，
第3個正方形的邊長為（

2

2

）²=

1

2

，
…，
第n個正方形的邊長為（

2

2

）^n-1，
∴第n個正方形的面積為：[（

2

2

）²]^n-1=

1

2n-1

，
則第n個等腰直角三角形的面積為：

1

2n-1

×

1

4

=

1

2n+1

，
故第n個正方形與第n個等腰直角三角形的面積和S_n=

1

2n-1

+

1

2n+1

=

5

2n+1

．
故答案為：

5

2n+1

．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及等腰直角三角形的性質和直角邊長是斜邊長的

2

2

倍及正方形的面積公式求解．找到第n個正方形的邊長為（

2

2

）^n-1是解題的關鍵．