Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F．

（1）判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由．

（2）求證：BE=CD，BE⊥CD．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ACGD為平行四邊形，理由見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性質易得BD=2BC，因為G為BD的中點，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45°得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四邊形ACGD為平行四邊形；

（2）利用全等三角形的判定證得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性質得BE=CD；首先證得四邊形ABCE為平行四邊形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出結論.

（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AB=BC，

∵△ABD和△ACE均為等腰直角三角形，

∴BD===2BC，

∵G為BD的中點，

∴BG=BD=BC，

∴△CBG為等腰直角三角形，

∴∠CGB=45°，

∵∠ADB=45°，

AD∥CG，

∵∠ABD=45°，∠ABC=45°

∴∠CBD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBD+∠ACB=180°，

∴AC∥BD，

∴四邊形ACGD為平行四邊形；

（2）證明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，

∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，

∴∠EAB=∠CAD，

在△DAC與△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE，

∴BE=CD；

∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，

∴四邊形ABCE為平行四邊形，

∴CE=AB=AD，

在△BCE與△CAD中，

，

∴△BCE≌△CAD，

∴∠CBE=∠ACD，

∵∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠CBE+∠BCD=90°，

∴∠CFB=90°，

即BE⊥CD．