Question

（2010•松江區三模）已知在△ABC中，∠A=45°，AB=7，，動點P、D分別在射線AB、AC上，且∠DPA=∠ACB，設AP=x，△PCD的面積為y．
（1）求△ABC的面積；
（2）如圖，當動點P、D分別在射線AB、AC上時，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）如果△PCD是以PD為腰的等腰三角形，求線段AP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH、Rt△CHB中，分別用CH表示出AH、BH的長，進而由AB=AH+BH=7求出CH的長，即可得到AH、BH的長，由三角形的面積公式可求得△ABC的面積；
（2）由∠DPA=∠ACB，可證得△DPA∽△BCA，根據相似三角形得出的成比例線段可求得AD的表達式，進而可得到CD的長；過P作PE⊥AC于E，根據AP的長及∠A的度數即可求得PE的長；以CD為底、PE為高即可求得△PCD的面積，由此可得出y、x的函數關系；
求自變量取值的時，關鍵是確定AP的最大值，由于P、D分別在線段AB、AC上，AP最大時D、C重合，可根據相似三角形得到的比例線段求出此時AP的長，由此可得到x的取值范圍；
（3）在（2）題中，已證得△ADP∽△ABC，根據相似三角形得到的比例線段，可得到PD的表達式；若△PDC是以PD為腰的等腰三角形，則可分兩種情況：PD=DC或PD=PC；
①如果D在線段AC上，此時∠PDC是鈍角，只有PD=DC這一種情況，聯立兩條線段的表達式，即可求得此時x的值；
②如果D在線段AC的延長線上，可根據上面提到的兩種情況，分別列出關于x的等量關系式，即可求得x的值．
解答：解：（1）作CH⊥AB，垂足為點H，設CH=m；
∵，∴（1分）
∵∠A=45°，∴AH=CH=m
∴；（1分）
∴m=4；（1分）
∴△ABC的面積等于；（1分）

（2）∵AH=CH=4，
∴
∵∠DPA=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ADP∽△ABC；（1分）
∴，即
∴；（1分）
作PE⊥AC，垂足為點E；
∵∠A=45°，AP=x，
∴；（1分）
∴所求的函數解析式為，即；（1分）
當D到C時，AP最大．
∵△CPA∽△BCA
∴=
∴AP==，
∴定義域為0＜x＜；（1分）

（3）由△ADP∽△ABC，得，即；
∴；（1分）
∵△PCD是以PD為腰的等腰三角形，
∴有PD=CD或PD=PC；
（i）當點D在邊AC上時，
∵∠PDC是鈍角，只有PD=CD
∴；
解得；（1分）
（ii）當點D在邊AC的延長線上時，，（1分）
如果PD=CD，那么
解得x=16（1分）
如果PD=PC，那么
解得x₁=32，（不符合題意，舍去）（1分）
綜上所述，AP的長為，或16，或32．
點評：此題考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、二次函數的應用等知識，同時還考查了分類討論的數學思想方法，難度較大．