Question

【題目】（模型建立）

(1)如圖1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過點A作AD⊥ED于點D，過點B作BE⊥ED于點E，求證：△BEC≌△CDA；

（模型應(yīng)用）

（2)如圖2，已知直線11：y＝2x＋3與x軸交于點A、與y軸交于點B，將直線11繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°至直線12；求直線12的函數(shù)表達式；

（3）如圖3，平面直角坐標系內(nèi)有一點B（3，－4），過點B作BA⊥x軸于點A、BC⊥y軸于點C，點P是線段AB上的動點，點D是直線y＝－2x＋1上的動點且在第四象限內(nèi)．試探究△CPD能否成為等腰直角三角形?若能，求出點D的坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）;（3）能，點D的坐標為或或

【解析】

（1）由垂直的定義得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定義和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB，角角邊證明△CDA≌△BEC；
（2）證明△ABO≌∠BCD，求出點C的坐標為（-3，5），由點到直線上構(gòu)建二元一次方程組求出k=-5，b=-10，待定系數(shù)法求出直線l2的函數(shù)表達式為y=-5x-10；

（3）構(gòu)建△MCP≌△HPD，由其性質(zhì)，點D在直線y=-2x+1求出m=或n=0或-，將m的值代入點D坐標得（，-）或（4，-7）或（，-）．

解：（1）如圖：

∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BEC=90°，
又∵∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△CDA和△BEC中，

∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）過點B作BC⊥AB交AC于點C，CD⊥y軸交y軸
于點D，如圖2所示：

∵CD⊥y軸，x軸⊥y軸，
∴∠CDB=∠BOA=90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD=180°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
又∵∠BAC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴AB=CB，
在△ABO和∠BCD中，

∴AO=BD，BO=CD，
又∵直線l1：y=2x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴點A、B兩點的坐標分別為（，0），（0，3），
∴AO=，BO=3，
∴BD=，CD=3，

∴點C的坐標為（-3，），
設(shè)l2的函數(shù)表達式為y=kx+b（k≠0），
點A、C兩點在直線l2上，依題意得：

，解得：

l2的函數(shù)表達式為:

（3）能成為等腰直角三角形，依題意得，
①若點P為直角時，如圖3甲所示：

設(shè)點P的坐標為（3，m），則PB的長為4+m，
∵∠CPD=90°，CP=PD，
∠CPM+∠CDP+∠PDH=180°，
∴∠CPM+∠PDH=90°，
又∵∠CPM+∠DPM=90°，
∴∠PCM=∠PDH，
在△MCP和△HPD中，

∴△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM=PH，PM=PD，
∴點D的坐標為（7+m，-3+m），
又∵點D在直線y=-2x+1上，
∴-2（7+m）+1=-3+m，

解得：

即點D的坐標為

②若點C為直角時，如圖所示：

設(shè)點P的坐標為（3，n），則PB的長為4+n，
CA=CD，
同理可證明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM=CH，MC=HD，
∴點D的坐標為（4+n，-7），
又∵點D在直線y=-2x+1上，
∴-2（4+n）+1=-7，
解得：n=0，
∴點P與點A重合，點M與點O重合，
即點D的坐標為（4，-7）；
③若點D為直角時，如圖所示：

設(shè)點P的坐標為（3，k），則PB的長為4+k，
CD=PD，
同理可證明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD=PQ，MC=DQ，

∴點D的坐標為

又∵點D在直線y=-2x+1上，

，解得：

∴點P與點A重合，點M與點O重合，

即點D的坐標為

綜合所述，點D的坐標為或或