Question

【題目】如圖，在菱形中，E為對角線上一點，F是延長線上一點，連接，，，，．

（1）求證：；

（2）若點G為的中點，連接，求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據菱形的性質，得到AD=CD，∠ABC=∠ADC=∠ACD=∠CAD=60°，然后根據等式的性質求得∠ADE=∠CDF，從而利用ASA定理判定三角形全等，問題得解；

（2）過點B作BH∥AC，交AG的延長線于點H，根據菱形的性質結合（1）中的結論判定△ABE≌△ADE≌△CDF，利用ASA定理判定△BHG≌△EAG，利用SAS定理判定△ABH≌△ACF，從而得到AH=AF，使問題得解．

解：在菱形ABCD中，∵

∴AD=CD，∠ABC=∠ADC=∠ACD=∠CAD=∠ACB=60°

∴∠DCF=60°

又∵

∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=60°

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF

∴；

（2）過點B作BH∥AC，交AG的延長線于點H

在菱形ABCD中，∠ABE=∠ADE，AB=AD，AE=AE

又由（1）可知△ADE≌△CDF

∴△ABE≌△ADE≌△CDF

∴AE=CF

∵BH∥AC，點G是BE的中點

∴∠H=∠GAE，BG=EG，∠HBG=∠ACB=60°

∴∠ABH=∠ACF=120°

又∵∠AGE=∠HGB

∴△BHG≌△EAG

∴BH=AE=CF，AG=GH

又∵AB=AC

∴△ABH≌△ACF

∴AH=AF=AG+GH=2AG

即．