Question

【題目】如圖，O是坐標原點，過點A（﹣1，0）的拋物線y=x2﹣bx﹣3與x軸的另一個交點為B，與y軸交于點C，其頂點為D點．

（1）求b的值以及點D的坐標；

（2）求△BCD的面積；

（3）連接BC、BD、CD，在x軸上是否存在點P，使得以A、C、P為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

（4）在拋物線上是否存在點Q，使得以A、C、Q為頂點且以AC為直角邊的三角形為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=2 ；D（1，-4）．（2）3；（3）存在，（0，0）（9，0）．（4）（0，-3）、（，-）、（-1，0）、（，）；

【解析】

（1）把點A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣3中，根據待定系數法，可得函數解析式，根據配方法，可得頂點坐標；

（2）先求得點B的坐標，然后由S△BCD=S△BDM+S梯形OCDM-S△OBC，即可求得答案；

（3）根據相似三角形的性質，分兩種情況，得出AP的長，根據線段的和差，可得P點坐標．

（4）利用兩點間的距離公式和勾股定理求得答案；

解：（1）把A（-1，0）代入y=x2-bx-3，得1+b-3=0，
解得b=2．

∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴D（1，-4）．

（2）

∴C（0，-3），
點B與A關于直線x=1對稱，
∴點B（3，0），
設直線x=1交x軸于點M，
∴OM=1，BM=3-1=2，DM=4，

∴S△BCD=S△BDM+S梯形OCDM-S△OBC=×2×4+×（3+4）×1-×3×3=3；

（3）如圖，當y=0時，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，即A（-1，0），B（3，0），D（1，-4）．

由勾股定理，得BC2=18，CD2=1+1=2，BD2=22+16=20，BC2+CD2=BD2，∠BCD=90°，
①當△APC∽△DCB時，＝，即，解得AP=1，即P（0，0）．
②當△ACP∽△DCB時，，即，解得AP=10，即P′（9，0）．
綜上所述：點P的坐標（0，0）（9，0）．

（4）設Q點坐標為（m，m 2-2m-3）

當∠QCA=90°，由AC2+CQ2=AQ2

得到：32+（-1）2+（m 2-2m-3+3）2+m 2=（m+1）2+( m 2-2m-3)2，
解得m=0或；

則Q點坐標為（0，-3）或（，-）

當∠QAC=90°，由AC2+AQ2=CQ2

得到：32+（-1）2 +（m+1）2+( m 2-2m-3)2=（m 2-2m-3+3）2+m 2，
解得m=-1或；
則Q點坐標為（-1，0）或（，）

綜上所述，Q點坐標為（0，-3）、（，-）、（-1，0）、（，）；