Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2-x+c交x軸于點A和點B（點A在原點的左側，點B在原點的右側），點A的坐標為（-3，0），點B的坐標為（1，0），交y軸于點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）已知點P為拋物線上一點，直線PC與x軸交于點Q，使得PQ=CQ，求P點坐標；

（3）若點M是拋物線對稱軸上一點，點N是平面內一點，是否存在以A，C，M，N為頂點的矩形？若存在，請直接寫出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-x+4；（2）P點坐標（-，5）或（-，5）或（，-5）或（，-5）；

（3）存在以A、C、M、N為頂點的矩形，點N的坐標為：（2，）或（-4，）或（-2，2-）或（-2，2+）．

【解析】

（1）把點A的坐標為（-3，0），點B的坐標為（1，0）代入y=ax2-x+c求解即可；

（2）設P（m，-m2-m+4），作PH⊥x軸于H，由平行可得△QCO∽△QPH，由相似三角形對應線段成比例可得m值，代入求點P坐標即可；

（3）設點M的坐標為（-1，m），可求得AM、AC、CM長，分AC為邊或AC為對角線兩種情況由勾股定理可得m值，易知點M坐標，由全等三角形的性質確定N點坐標即可.

解：（1）把點A的坐標為（-3，0），點B的坐標為（1，0）代入y=ax2-x+c得，

解得：，

∴該拋物線的解析式為y=-x2-x+4；

（2）∵點P為拋物線上一點，

∴設P（m，-m2-m+4），作PH⊥x軸于H，

∴PH∥OC，

∴△QCO∽△QPH，

∴==，

∴=±，

解得：m1=-，m2=-，m3=，m4=，

∴P點坐標（-，5）或（-，5）或（，-5）或（，-5）；

（3）∵拋物線y=-x2-x+4的對稱軸為x=-1，

設點M的坐標為（-1，m），

∵點A的坐標為（-3，0），點C的坐標為（0，4），

∴AM==，AC==5，CM==，

分AC為邊或AC為對角線兩種情況考慮：

①當AC為邊時，有AC2+AM2=CM2或AC2+CM2=AM2，即25+m2+4=m2-8m+17或25+m2-8m+17=m2+4，

解得：m1=-或m2=，

∴點M的坐標為（-1，-）或（-1，）；

如圖2，分別過M或N作y軸或x軸的垂線，

由全等三角形的性質得，N點的坐標為：（2，）或（-4，）；

②當AC為對角線時，有AM2+CM2=AC2，即m2+4+m2-8m+17=25，

解得：m3=2+，m4=2-，

∴點M的坐標為（-1，2+）或（-1，2-）．

如圖3，分別過M或N作y軸或x軸的垂線，

由全等三角形的性質得，N點的坐標為（-2，2-）或（-2，2+）

綜上所述：存在以A、C、M、N為頂點的矩形，點N的坐標為：（2，）或（-4，）或（-2，2-）或（-2，2+）．