Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DF平分∠EDC交BC于F，DE⊥DC交AB于點E，連結EF．

（1）證明：EF=CF

（2）當tan∠ADE =時，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5.

【解析】

試題分析：（1）過D作DG⊥BC于G，由已知可得四邊形ABGD為正方形，然后利用正方形的性質和已知條件證明△ADE≌△GDC，接著利用全等三角形的性質證明△EDF≌△CDF，

（2）由tan∠ADE=，根據已知條件可以求出AE=GC=2．設EF=x，則BF=8-CF=8-x，BE=4．在Rt△BEF中根據勾股定理即可求出x，也就求出了EF．

試題解析：（1）過D作DG⊥BC于G．

由已知可得四邊形ABGD為正方形，

∵DE⊥DC．

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC．

又∵∠A=∠DGC且AD=GD，

∴△ADE≌△GDC，

∴DE=DC且AE=GC．

在△EDF和△CDF中

，

∴△EDF≌△CDF，

∴EF=CF；

（2）∵tan∠ADE=，

∴AE=GC=2．

∴BC=8，

BE=4，設CF=x，則BF=8-CF=8-x，

在Rt△BEF中，由勾股定理得：x2=（8-x）2+42，

解得x=5，

即EF=5．